Алгебра
21 тем в справочнике.
Степень с целым показателем
7, 8, 9 класс| Умножение степеней | $aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ⁺ⁿ$ |
| Деление степеней | $aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ$ |
| Отрицательная степень | $a⁻ⁿ = 1 / aⁿ$ |
- Понимать смысл степени (основание и показатель).
- Применять свойства степеней при умножении и делении.
- Возводить степень в степень.
- Работать с отрицательными показателями (a⁻ⁿ = 1/aⁿ).
Логарифмы
10, 11 класс| Определение | log_a(b) = c, если a^c = b |
| Логарифм произведения | $log_a(x\cdot y) = log_a(x) + log_a(y)$ |
| Логарифм степени | $log_a(x^n) = n \cdot log_a(x)$ |
- Понимать связь логарифма и степени.
- Вычислять простейшие логарифмы устно.
- Знать ограничения (логарифм только от положительного числа).
- Применять основные свойства логарифмов.
Производная
10, 11 класс| Определение | $f'(x) = dy / dx$ |
| Правило степени | $(xⁿ)' = n \cdot xⁿ⁻¹$ |
| Производная суммы | $(f + g)' = f' + g'$ |
- Понимать физический смысл производной (скорость).
- Знать таблицу производных (xⁿ, sin, cos).
- Применять правила суммы и произведения.
- Находить критические точки функции.
Тригонометрические уравнения
10, 11 класс| sin x = a | $x = (-1)^k \cdot arcsin(a) + πk$ |
| cos x = a | $x = ±arccos(a) + 2πk$ |
| tg x = a | $x = arctg(a) + πk$ |
- Знать формулы корней для sin, cos, tg.
- Понимать периодичность тригонометрических функций.
- Использовать табличные значения.
- Записывать ответ через πk (k ∈ Z).
Арифметическая прогрессия
9 класс| n-й член | $a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)$ |
| Сумма первых n членов | $S_n = (a_1 + a_n) \cdot n / 2$ |
| Разность | $d = a_{n+1} - a_n$ |
- Находить разность прогрессии (d).
- Вычислять n-й член (a_n).
- Находить сумму первых n членов (S_n).
- Применять формулы в текстовых задачах.
Геометрическая прогрессия
9 класс| n-й член | $b_n = b_1 \cdot q^(n-1)$ |
| Сумма первых n членов | $S_n = b_1 \cdot (q^n - 1) / (q - 1)$ |
| Знаменатель | $q = b_{n+1} / b_n$ |
- Находить знаменатель (q).
- Вычислять n-й член (b_n).
- Находить сумму первых n членов.
- Решать задачи на проценты и банковские вклады.
Линейные неравенства
8, 9 класс| Общий вид | $ax > -b$ |
| Правило переноса | $x + 5 > 10 \to x > 5$ |
| Деление на отрицательное | $-2x > 6 \to x < -3$ |
- Решать линейные неравенства.
- Переносить слагаемые с изменением знака.
- Менять знак неравенства при делении на отрицательное число.
- Записывать ответ в виде промежутка.
Показательные уравнения
10, 11 класс| Основное правило | $2^x = 2^3 \to x = 3$ |
| Приведение к основанию | $8 = 2^3; 16 = 2^4; 27 = 3^3$ |
- Понимать, что такое степень с неизвестным.
- Приводить числа к одному основанию.
- Приравнивать показатели степеней.
- Решать простейшие показательные уравнения.
Квадратные корни
8, 9 класс| Определение | √a = b, если b² = a |
| Корень произведения | $√(a \cdot b) = √a \cdot √b$ |
| Вынесение множителя | $√12 = √(4 \cdot 3) = 2√3$ |
- Извлекать корни из полных квадратов (4, 9, 16).
- Раскладывать число на множители.
- Выносить полный квадрат из-под корня.
- Вносить множитель под знак корня.
Разложение на множители
7, 8, 9 класс| Вынесение общего множителя | $3x + 3y = 3(x + y)$ |
| Разность квадратов | $a² - b² = (a - b)(a + b)$ |
| Квадрат суммы/разности | $a² + 2ab + b² = (a + b)²$ |
- Находить общий множитель и выносить его за скобки.
- Узнавать формулы разности квадратов.
- Применять метод группировки.
- Использовать разложение для сокращения алгебраических дробей.
Логарифмические уравнения
10, 11 класс| По определению | $log₂(x) = 3 \to x = 2³ = 8$ |
| Потенцирование | $log₃(x) = log₃(5) \to x = 5$ |
| ОДЗ | x > 0 |
- Решать уравнения по определению логарифма.
- Использовать метод потенцирования.
- Проверять корни по ОДЗ.
- Применять свойства логарифмов.
Применение производной
10, 11 класс| Условие экстремума | $f'(x) = 0$ |
| Смена знака | + → - (максимум) |
| Смена знака | - → + (минимум) |
- Находить производную функции.
- Приравнивать производную к нулю.
- Определять знаки производной на промежутках.
- Находить точки максимума и минимума.
Определённый интеграл
11 класс| Формула Ньютона-Лейбница | $∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)$ |
| Площадь фигуры | $S = ∫ₐᵇ f(x) dx$ |
| Свойства | $∫ₐᵇ = -∫ᵦᵃ$ |
- Понимать геометрический смысл интеграла.
- Применять формулу Ньютона-Лейбница.
- Правильно подставлять пределы интегрирования.
- Вычислять площадь фигуры.
Линейные уравнения
7, 8, 9 класс| Перенос | $x + 5 = 12 \to x = 12 − 5$ |
| Деление на коэффициент | $3x = 12 \to x = 4$ |
| Раскрытие скобок | $2(x + 3) = 2x + 6$ |
- Решать уравнения вида ax + b = c.
- Раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые.
- Переносить слагаемые с изменением знака.
- Проверять корень подстановкой.
Формулы сокращённого умножения
7, 8, 9 класс| Квадрат суммы | $(a + b)² = a² + 2ab + b²$ |
| Квадрат разности | $(a − b)² = a² − 2ab + b²$ |
| Разность квадратов | $a² − b² = (a − b)(a + b)$ |
| Куб суммы | $(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³$ |
| Куб разности | $(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³$ |
| Сумма кубов | $a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)$ |
| Разность кубов | $a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)$ |
- Раскрывать квадрат суммы и разности.
- Применять разность квадратов (в обе стороны).
- Раскрывать куб суммы и разности.
- Раскладывать сумму и разность кубов.
Квадратные неравенства
8, 9 класс| Стандартный вид | ax² + bx + c > 0 (или < 0) |
| Корни | $x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a$ |
| Знак на интервале | Если a > 0, парабола ветвями вверх, крайние интервалы с плюсом |
- Находить корни квадратного уравнения.
- Строить схематичный график (параболу).
- Определять знак выражения на интервалах.
- Записывать ответ в виде промежутка (или объединения промежутков).
Системы линейных уравнений
7, 8, 9 класс| Общий вид | $a₁x + b₁y = c₁; a₂x + b₂y = c₂$ |
| Метод подстановки | x = ...; подставляем во второе |
| Метод сложения | $x + y = 5; x - y = 1 \to (x+x) + (y-y) = 6 \to x = 3$ |
- Понимать, что такое решение системы.
- Применять метод подстановки.
- Применять метод сложения (вычитания).
- Проверять решение подстановкой в оба уравнения.
Значения тригонометрических функций
10, 11 класс| Синус (0°–90°) | $sin 0° = 0; sin 30° = 1/2; sin 45° = √2/2; sin 60° = √3/2; sin 90° = 1$ |
| Косинус (0°–90°) | $cos 0° = 1; cos 30° = √3/2; cos 45° = √2/2; cos 60° = 1/2; cos 90° = 0$ |
| Тангенс | $tg 0° = 0; tg 30° = 1/√3; tg 45° = 1; tg 60° = √3$ |
- Знать табличные значения sin, cos, tg для основных углов.
- Понимать закономерность (от 0 до 1).
- Применять значения в уравнениях.
- Определять знак функции по четверти.
Тригонометрические тождества
10, 11 класс| Основное тождество | $sin²x + cos²x = 1$ |
| Двойной угол | $sin(2x) = 2sin(x)cos(x); cos(2x) = cos²x - sin²x$ |
| Сложение углов | $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$ |
- Знать основное тригонометрическое тождество.
- Применять формулы двойного угла.
- Использовать формулы сложения.
- Упрощать тригонометрические выражения.
Первообразная
11 класс| Правило степени | $∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C$ |
| Константа | $∫ a dx = ax + C$ |
| Сумма | $∫ (f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx$ |
- Понимать, что такое первообразная.
- Применять правило степени при интегрировании.
- Использовать таблицу интегралов.
- Не забывать про +C (постоянную интегрирования).
Квадратные уравнения
8, 9 класс| Дискриминант | $D = b² − 4ac$ |
| Корни | $x = (−b ± √D) / (2a)$ |
| Теорема Виета | $x₁ + x₂ = −b/a, x₁ \cdot x₂ = c/a$ |
- Определять коэффициенты a, b, c.
- Считать дискриминант D = b² − 4ac.
- Находить корни через формулу x = (−b ± √D) / 2a.
- Использовать теорему Виета для проверки.