Формулы сокращённого умножения — тренажёр для 7 класса
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это «шпаргалка» для быстрого раскрытия скобок. Вместо того чтобы перемножать (a + b)(a + b) вручную, мы сразу пишем a² + 2ab + b². Семь формул достаточно выучить наизусть: они встречаются во всех разделах алгебры, от дробей до тригонометрии. В тренажёре задания построены от простых к сложным, чтобы ребёнок сам увидел закономерность.
Что проверяет эта тема
- Раскрывать квадрат суммы и разности.
- Применять разность квадратов (в обе стороны).
- Раскрывать куб суммы и разности.
- Раскладывать сумму и разность кубов.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | $(a + b)² = a² + 2ab + b²$ | Квадрат первого + удвоенное произведение + квадрат второго. |
| Квадрат разности | $(a − b)² = a² − 2ab + b²$ | Перед удвоенным произведением стоит минус. |
| Разность квадратов | $a² − b² = (a − b)(a + b)$ | Разность на сумму. |
| Куб суммы | $(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³$ | Три слагаемых с чередованием знаков. |
| Куб разности | $(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³$ | Знаки чередуются: +, −, +, −. |
| Сумма кубов | $a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)$ | Сумма на «неполный квадрат разности». |
| Разность кубов | $a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)$ | Разность на «неполный квадрат суммы». |
Разбор задачи по шагам
Задача: Раскрыть скобки (2x + 3)².
Шаг 1. Вспоминаем формулу квадрата суммы. (a + b)² = a² + 2ab + b².
Шаг 2. Определяем a и b. a = 2x, b = 3. Почему: a — то, что возводится в квадрат «как одно целое». Не забывайте про коэффициент 2.
Шаг 3. Подставляем. (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3². = 4x² + 12x + 9.
Шаг 4. Проверяем. Все три слагаемых: квадрат первого (4x²), удвоенное произведение (12x), квадрат второго (9). Порядок и знаки — верные.
Ещё один разбор
Задача. Раскрой/упрости: (a − b)³ = ?
Ответ: a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Типичные ошибки
Почему: Забывают удвоенное произведение
Как проверить: Квадрат суммы — это ТРИ слагаемых. Средний член 2ab — обязательный.
Почему: Пишут (2x)² = 2x²
Как проверить: (2x)² = 2² · x² = 4x². В квадрат возводится и коэффициент, и переменная.
Почему: Названия похожи
Как проверить: a² − b² = (a − b)(a + b) — произведение двух скобок. (a − b)² = a² − 2ab + b² — три слагаемых.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Раскрыть скобки — квадрат суммы, разности.
- Свернуть обратно — разложение.
- Куб — для продвинутых.
- Применение в дробях — сокращение с ФСУ.
Ответ проверяется сразу.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 7 классе (все 7 формул). В ОГЭ по математике — используется в заданиях № 6, 9, 13, 20.
Родителям: повесьте все 7 формул на стену. Ребёнок будет видеть их каждый день и запомнит естественно.
Частые вопросы
Зачем нужно столько формул?
Каждая экономит время. Раскрыть (a + b)³ вручную — это 4 умножения. По формуле — мгновенно.
Как отличить квадрат разности от разности квадратов?
Квадрат разности — это (a − b)² (скобка в квадрате). Разность квадратов — это a² − b² (без скобок, два квадрата с минусом).
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам