Квадратные уравнения — тренажёр для 8 класса
Квадратное уравнение — это уравнение с x². Проще всего решать через дискриминант: D = b² − 4ac. Он показывает, сколько корней у уравнения. В тренажёре примеры построены от простых к сложным, чтобы ребёнок сам увидел, как работает формула.
Что проверяет эта тема
- Определять коэффициенты a, b, c.
- Считать дискриминант D = b² − 4ac.
- Находить корни через формулу x = (−b ± √D) / 2a.
- Использовать теорему Виета для проверки.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Дискриминант | $D = b² − 4ac$ | D = b² − 4ac. По нему определяем число корней. |
| Корни | $x = (−b ± √D) / (2a)$ | При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 нет. |
| Теорема Виета | $x₁ + x₂ = −b/a, x₁ \cdot x₂ = c/a$ | Сумма корней = −b/a, произведение = c/a. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Решить x² − 5x + 6 = 0
Шаг 1. Определяем коэффициенты. a = 1, b = −5, c = 6.
Шаг 2. Считаем дискриминант. D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Почему: D > 0, значит, будет два различных корня.
Шаг 3. Находим корни. x₁ = (5 + 1) / 2 = 3. x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Шаг 4. Проверяем через теорему Виета. Сумма: 3 + 2 = 5 = −b/a ✓. Произведение: 3 · 2 = 6 = c/a ✓. Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2.
Ещё один разбор
Задача. x² + 1x − 72 = 0. Меньший корень?
Ответ: -9
Типичные ошибки
Почему: Пишут D = 25 + 24 = 49
Как проверить: Считайте внимательно: b = −5, b² = 25. −4ac с a=1, c=6 — это −4·1·6 = −24.
Почему: Пишут один корень вместо двух
Как проверить: В формуле всегда ±. Если D > 0 — два корня, если D = 0 — один (совпадающий).
Почему: Делят только на 2
Как проверить: Делим на 2a, а не на 2. При a = 2 делим на 4.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Простые уравнения с целыми корнями.
- С отрицательным b или c.
- С D = 0 (один корень).
- Неполные: x² − 9 = 0.
Ответ проверяется сразу.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 8 классе. В ОГЭ по математике — задание № 9, в ЕГЭ — базовый уровень.
Родителям: объясните через параболу. Корни уравнения — это точки, где парабола пересекает ось X. D > 0 — две точки, D = 0 — одна (касается), D < 0 — нет пересечений.
Частые вопросы
Почему у квадратного уравнения два корня?
Потому что парабола может пересекать ось X в двух точках. Это соответствует двум значениям x, при которых y = 0.
Когда использовать теорему Виета вместо дискриминанта?
Когда a = 1 и корни — целые. Виета быстрее: x² − 5x + 6 = 0 → корни 2 и 3 (сумма 5, произведение 6).
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам