Квадратные неравенства — тренажёр для 8 класса
Квадратные неравенства пугают тем, что вместо привычного знака «равно» появляется «больше» или «меньше». На самом деле всё решается через обычную параболу. Нужно найти, где она «ныряет» под ось X, а где «взлетает» над ней. В тренажёре задачи разбиты так, чтобы ребёнок сначала находил корни, а потом отмечал знаки на прямой.
Что проверяет эта тема
- Находить корни квадратного уравнения.
- Строить схематичный график (параболу).
- Определять знак выражения на интервалах.
- Записывать ответ в виде промежутка (или объединения промежутков).
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Стандартный вид | ax² + bx + c > 0 (или < 0) | Сравниваем с нулём, приводим к виду ax² + bx + c. |
| Корни | $x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a$ | Точки, где парабола пересекает ось X. |
| Знак на интервале | Если a > 0, парабола ветвями вверх, крайние интервалы с плюсом | Берём любое число из промежутка и подставляем в уравнение. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Решить неравенство x² - 5x + 6 > 0
Шаг 1. Приравниваем к нулю. Ищем, где парабола пересекает ось X. x² - 5x + 6 = 0. Почему: Это как найти берега реки, чтобы понять, где вода (в нашем случае — знак плюс).
Шаг 2. Находим корни. По теореме Виета корни: x₁ = 2, x₂ = 3. Парабола пересекает ось в точках 2 и 3.
Шаг 3. Рисуем ось и ставим знаки. Коэффициент при x² равен 1 (положительный), значит, ветви параболы идут вверх (улыбаются). Знак «плюс» будет снаружи (до 2 и после 3), знак «минус» — между ними (2; 3).
Шаг 4. Выбираем нужный интервал. Нам нужно > 0 (плюс). Ответ: (-∞; 2) ∪ (3; +∞).
Ещё один разбор
Задача. Реши неравенство (x−5)(x−6) < 0
Ответ: (5; 6)
Типичные ошибки
Почему: Знак строгий (>), значит, точки выколоты
Как проверить: Если знак > или <, ставим круглые скобки. Если ≥ или ≤, квадратные.
Почему: Забывают посмотреть на знак «a»
Как проверить: Если перед x² стоит плюс (или ничего) — ветви вверх. Если минус — вниз.
Почему: Путают с решением уравнения
Как проверить: Неравенство — это интервал. Записывайте ответ через ∪ (объединение) или словами «от... до...».
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Простые неравенства (где корни — целые числа).
- Неравенства с отрицательным «a» (парабола вниз).
- Строгие и нестрогие (> и ≥).
- Полные и неполные квадратные неравенства.
Все ответы с графиком-подсказкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 8 классе (базовый уровень) и в 9 классе (на профильном). В ОГЭ это задание №13.
Родителям: объясните через метафору «удобной чаши». Парабола — это чаша. Если вам нужно > 0, вы ищете места, где чаша выше земли (по краям). Если < 0, вы ищете, где она просела (в центре).
Частые вопросы
Что делать, если дискриминант меньше нуля?
Если D < 0, парабола вообще не пересекает ось X. Значит, она либо всегда > 0, либо всегда < 0. Выбирайте ответ в зависимости от знака «a».
Почему в ответе бесконечность?
Парабола уходит в бесконечность в обе стороны. Мы указываем это с помощью знака ∞.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам