Логарифмические уравнения — тренажёр для 10 класса
Логарифмические уравнения пугают своей записью, но решаются они по простому принципу: превратить логарифм в обычное число. Главная ловушка — область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм существует только от положительного числа, поэтому корни нужно проверять. В тренажёре задания построены от простых к сложным.
Что проверяет эта тема
- Решать уравнения по определению логарифма.
- Использовать метод потенцирования.
- Проверять корни по ОДЗ.
- Применять свойства логарифмов.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| По определению | $log₂(x) = 3 \to x = 2³ = 8$ | log_a(x) = b → x = a^b. |
| Потенцирование | $log₃(x) = log₃(5) \to x = 5$ | log_a(x) = log_a(y) → x = y (при x,y > 0). |
| ОДЗ | x > 0 | Выражение под логарифмом должно быть больше 0. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Решите уравнение log₂(x) = 3.
Шаг 1. Применяем определение. log₂(x) = 3 означает, что 2³ = x. Почему: Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Шаг 2. Вычисляем. x = 2³ = 8.
Шаг 3. Проверяем ОДЗ. x = 8 > 0. Значит, корень подходит.
Шаг 4. Записываем ответ. x = 8.
Ещё один разбор
Задача. $\log_{2}(x) = 5$. Найди $x$.
Ответ: 32
Типичные ошибки
Почему: Считают, что корень может быть любым
Как проверить: Логарифм существует только от положительных чисел. Если получился x = -3, значит, корня нет.
Почему: Пишут x = 2·3 вместо x = 2³
Как проверить: Правило: log_a(b) = c → a^c = b. Основание (a) возводим в степень, получаем аргумент (b).
Почему: Забывают, что при решении уравнений с логарифмами появляются посторонние корни
Как проверить: После решения ОБЯЗАТЕЛЬНО подставьте корень в исходное уравнение и проверьте ОДЗ.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Простые уравнения (log₂x = 3).
- Уравнения с коэффициентом (2log₂x = 6).
- С потенцированием (log₃(x) = log₃(5)).
- С проверкой ОДЗ.
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 11 классе (профильный уровень). В ЕГЭ по математике это задание № 12.
Родителям: объясните через игру в «степень». Логарифм задает вопрос: «В какую степень возвести 2, чтобы получить 8?». Ответ 3. Просто представьте, что логарифм — это ребус, который переводится в обычную степень.
Частые вопросы
Что такое ОДЗ в логарифмических уравнениях?
Область допустимых значений. Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля, а основание — больше нуля и не равно 1.
Как решать уравнение с суммой логарифмов?
Используем свойство: log(a) + log(b) = log(a·b). Сначала объединяем логарифмы, потом потенцируем.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам