Тригонометрические уравнения — тренажёр для 10 класса
Тригонометрические уравнения пугают не столько решением, сколько записью ответа. Нужно знать не только как найти угол, но и как записать все возможные варианты. В тренажёре задания построены от простых табличных значений к более сложным, чтобы ребёнок сам научился пользоваться формулами корней.
Что проверяет эта тема
- Знать формулы корней для sin, cos, tg.
- Понимать периодичность тригонометрических функций.
- Использовать табличные значения.
- Записывать ответ через πk (k ∈ Z).
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| sin x = a | $x = (-1)^k \cdot arcsin(a) + πk$ | Два решения, объединенных через (-1)^k. |
| cos x = a | $x = ±arccos(a) + 2πk$ | Два решения, объединенных через ±. |
| tg x = a | $x = arctg(a) + πk$ | Одно решение (период π). |
Разбор задачи по шагам
Задача: Решить уравнение sin x = 1/2.
Шаг 1. Вспоминаем таблицу. sin 30° = 1/2, или sin(π/6) = 1/2. Почему: Нам нужно найти угол, синус которого равен 1/2.
Шаг 2. Применяем общую формулу. x = (-1)^k · arcsin(1/2) + πk, где k ∈ Z.
Шаг 3. Подставляем значение. arcsin(1/2) = π/6. x = (-1)^k · π/6 + πk, где k ∈ Z.
Шаг 4. Записываем ответ. x = (-1)^k · π/6 + πk, k ∈ Z.
Ещё один разбор
Задача. Реши: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}
Типичные ошибки
Почему: Забывают, что синус повторяется
Как проверить: Синус — периодическая функция. Корней бесконечно много, поэтому в ответе всегда есть πk.
Почему: Не понимают, какая функция к какому уравнению
Как проверить: sin → arcsin. cos → arccos. tg → arctg.
Почему: Считают, что это неважная приписка
Как проверить: Без указания «k — целое число» ответ не имеет смысла. Это означает, что k может быть любым целым числом.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Простейшие уравнения (sin x = 0, 1, 1/2).
- Отрицательные значения (cos x = -1/2).
- Уравнения с tg и ctg.
- Табличные значения углов.
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 10 классе (базовый) и 11 классе (профильный). В ЕГЭ это задание № 12 (профиль).
Родителям: объясните на примере круга. Представьте, что вы идете по кругу. Если вы находитесь на высоте 1/2 (синус), то вы можете быть в двух точках (слева и справа). Каждый круг (2π) добавляет новые точки. Так и получается бесконечное множество корней.
Частые вопросы
Почему для cos используется ±, а для sin — (-1)^k?
Потому что косинус симметричен относительно горизонтальной оси (два значения с плюсом и минусом). Синус — относительно вертикальной, поэтому его решения чередуются.
Что такое arcsin?
Это обратная функция к синусу. Она отвечает на вопрос: «При каком угле синус равен данному числу?». Например, arcsin(1) = π/2, потому что sin(π/2) = 1.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам