Тригонометрические тождества — тренажёр для 10 класса

Тригонометрические тождества — это формулы, которые связывают синус, косинус и тангенс. Они позволяют упрощать сложные выражения и решать уравнения. Главное — запомнить базовые формулы и научиться их применять. В тренажёре задания построены от простых к сложным.

🚀 Попробовать без регистрации 📝 Задачи с решениями ⚔️ Вызвать на дуэль 🔗 Вызов другу

Что проверяет эта тема

  • Знать основное тригонометрическое тождество.
  • Применять формулы двойного угла.
  • Использовать формулы сложения.
  • Упрощать тригонометрические выражения.

Формулы и правила

Формулы и обозначения по теме «Тригонометрические тождества»
Что ищем Формула Обозначения
Основное тождество $sin²x + cos²x = 1$ Связывает синус и косинус.
Двойной угол $sin(2x) = 2sin(x)cos(x); cos(2x) = cos²x - sin²x$ Синус и косинус двойного угла.
Сложение углов $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$ Формулы для суммы и разности.

Разбор задачи по шагам

Задача: Упростите выражение sin²x + cos²x.

Шаг 1. Вспоминаем основное тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла всегда равна 1.

Шаг 2. Применяем. sin²x + cos²x = 1. Почему: Это следует из теоремы Пифагора на единичной окружности.

Шаг 3. Записываем ответ. 1.

Ещё один разбор

Задача. Упрости: $\cos x \cdot \cos y = ?$

1
Произведение в сумму.
$\cos x \cdot \cos y = 0.5(\cos(x-y) + \cos(x+y))$

Ответ: 0.5(\cos(x-y) + \cos(x+y))

Типичные ошибки

Ошибка: Путают sin²x и sin(x²)
Почему: Не понимают разницу в записи
Как проверить: sin²x — это (sin x)². sin(x²) — это синус от x в квадрате. Это разные вещи.
Ошибка: Забывают про формулы двойного угла
Почему: Пытаются упростить выражение без них
Как проверить: Если видите sin(2x) — сразу вспоминайте 2sin(x)cos(x).
Ошибка: Ошибки в знаках при формулах сложения
Почему: Путают плюс и минус
Как проверить: sin(x+y) — плюс. cos(x+y) — минус. Проверяйте по первой букве (sin — sum, cos — complement).

Типы задач в тренажёре

В тренажёре:

  • Основное тождество (упрощение).
  • Формулы двойного угла.
  • Выражения с тангенсом.
  • Применение в уравнениях.

Все ответы с проверкой.

Кому и когда это нужно

Тема изучается в 10 классе и активно используется в 11 классе (тригонометрические уравнения). В ЕГЭ по математике это задание № 12.

Родителям: объясните через окружность. Синус и косинус — это координаты точки на окружности. Основное тождество — это уравнение окружности x² + y² = 1, где x = cos, y = sin.

Частые вопросы

Зачем нужны тригонометрические тождества?

Чтобы упрощать выражения и решать уравнения. Без них сложные формулы (как в физике) было бы невозможно преобразовать.

Как быстро запомнить формулы двойного угла?

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (синус — «два синуса косинуса»). cos(2x) = cos²x - sin²x (косинус — «косинус в квадрате минус синус в квадрате»).

Примеры задач

Упрости: $\cos(2x) = ?$
Ответ: \cos^2 x - \sin^2 x
Упрости: $1 + \text{tg}^2 x = ?$
Ответ: \frac{1}{\cos^2 x}
Упрости: $\sin(x+y) = ?$
Ответ: \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y

Готовы попробовать свои силы?

В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.

Перейти к задачам

Смежные темы

Значения тригонометрических функций Тригонометрические уравнения Тригонометрия прямоугольного треугольника