Тригонометрические тождества — задачи с решениями (10 класс)
Типовые задачи по теме «Тригонометрические тождества» с пошаговыми решениями. Если нужен не разбор, а тренировка с проверкой — начните с тренажёра.
Задача 1
Упрости: $\sin(x+y) = ?$
Решение:
1
Формула сложения.
$\sin(x+y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$
Ответ: \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y
Задача 2
Упрости: $\cos x \cdot \cos y = ?$
Решение:
1
Произведение в сумму.
$\cos x \cdot \cos y = 0.5(\cos(x-y) + \cos(x+y))$
Ответ: 0.5(\cos(x-y) + \cos(x+y))
Задача 3
Упрости: $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = ?$
Решение:
1
Формула приведения.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
Ответ: \cos x
Задача 4
Упрости: $\cos(2x) = ?$
Решение:
1
Формула двойного угла (альтернатива).
$\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$
Ответ: 2\cos^2 x - 1
Задача 5
Упрости: $\cos(x-y) = ?$
Решение:
1
Формула сложения.
$\cos(x-y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$
Ответ: \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y
Задача 6
Упрости: $\sin^2 x + \cos^2 x = ?$
Решение:
1
Основное тригонометрическое тождество.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Ответ: 1
Задача 7
Упрости: $\sin x \cdot \cos y = ?$
Решение:
1
Произведение в сумму.
$\sin x \cdot \cos y = 0.5(\sin(x+y) + \sin(x-y))$
Ответ: 0.5(\sin(x+y) + \sin(x-y))
Задача 8
Упрости: $\cos(x+y) = ?$
Решение:
1
Формула сложения.
$\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$
Ответ: \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y
Задача 9
Упрости: $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = ?$
Решение:
1
Формула приведения.
$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$
Ответ: \sin x
Задача 10
Упрости: $1 + \text{ctg}^2 x = ?$
Решение:
1
Следствие из основного тождества.
$1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: \frac{1}{\sin^2 x}
Хотите попробовать свои силы?
На платформе тысячи задач с автопроверкой и умными подсказками.
Перейти к задачам