Арифметическая прогрессия — тренажёр для 9 класса
Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, где каждое следующее больше (или меньше) предыдущего на одно и то же число. Это как ступеньки: вы поднимаетесь на одинаковую высоту каждый раз. В тренажёре задачи построены от простых (продолжить ряд) до расчетных (найти 100-й член).
Что проверяет эта тема
- Находить разность прогрессии (d).
- Вычислять n-й член (a_n).
- Находить сумму первых n членов (S_n).
- Применять формулы в текстовых задачах.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| n-й член | $a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)$ | a_1 — первый член, d — разность, n — номер. |
| Сумма первых n членов | $S_n = (a_1 + a_n) \cdot n / 2$ | Складываем первый и последний, умножаем на количество и делим пополам. |
| Разность | $d = a_{n+1} - a_n$ | Вычитаем из следующего предыдущий. |
Разбор задачи по шагам
Задача: В арифметической прогрессии a_1 = 3, d = 2. Найдите 10-й член (a_10).
Шаг 1. Записываем формулу. a_n = a_1 + d · (n - 1).
Шаг 2. Подставляем значения. a_10 = 3 + 2 · (10 - 1). Почему: n — это номер члена. Нам нужен 10-й, значит, n = 10.
Шаг 3. Считаем. a_10 = 3 + 2 · 9 = 3 + 18 = 21.
Шаг 4. Записываем ответ. a_10 = 21.
Ещё один разбор
Задача. Арифметическая прогрессия: a1=19, d=1. Найди a19.
Ответ: 37
Типичные ошибки
Почему: Подставляют n вместо (n-1)
Как проверить: Например, для 1-го члена формула должна дать a_1. Если подставить n=1 без (n-1), получится a_1 + d, а это неверно.
Почему: Не понимают, что такое d
Как проверить: d — это шаг (насколько прибавляем). a_1 — это старт.
Почему: Путают формулу суммы с формулой члена
Как проверить: Для суммы используйте S_n = (a_1 + a_n) · n / 2. Можно не искать все члены, главное — знать первый и последний.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Продолжить ряд (найти следующие числа).
- Найти n-й член по формуле.
- Найти разность по двум членам.
- Найти сумму первых n членов.
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 9 классе. В ОГЭ по математике это задание № 14, в ЕГЭ — базовый уровень.
Родителям: объясните на примере театрального зала. В первом ряду 10 мест, во втором — 12, в третьем — 14. Это арифметическая прогрессия. Разность d = 2. Можно легко посчитать, сколько мест в 20-м ряду.
Частые вопросы
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической мы прибавляем одно и то же число (d). В геометрической — умножаем на одно и то же число (q).
Может ли d быть отрицательной?
Да. Тогда прогрессия убывает. Например, 10, 7, 4, 1... Здесь d = -3.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам