Геометрическая прогрессия — тренажёр для 9 класса
Геометрическая прогрессия — это когда каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это как бактерии, которые делятся пополам: 1, 2, 4, 8, 16... Сначала число растет медленно, а потом взрывается. В тренажёре задачи построены на понимании этого быстрого роста.
Что проверяет эта тема
- Находить знаменатель (q).
- Вычислять n-й член (b_n).
- Находить сумму первых n членов.
- Решать задачи на проценты и банковские вклады.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| n-й член | $b_n = b_1 \cdot q^(n-1)$ | b_1 — первый член, q — знаменатель, n — номер. |
| Сумма первых n членов | $S_n = b_1 \cdot (q^n - 1) / (q - 1)$ | Для q ≠ 1. |
| Знаменатель | $q = b_{n+1} / b_n$ | Делим следующий на предыдущий. |
Разбор задачи по шагам
Задача: В геометрической прогрессии b_1 = 2, q = 3. Найдите 4-й член (b_4).
Шаг 1. Записываем формулу. b_n = b_1 · q^(n-1).
Шаг 2. Подставляем значения. b_4 = 2 · 3^(4-1) = 2 · 3^3.
Шаг 3. Считаем степень. 3^3 = 27.
Шаг 4. Умножаем. b_4 = 2 · 27 = 54.
Шаг 5. Записываем ответ. b_4 = 54.
Ещё один разбор
Задача. Геометрическая прогрессия: b1=5, q=4. Найди b2.
Ответ: 20
Типичные ошибки
Почему: Прибавляют вместо умножения
Как проверить: Запомните: в арифметической +d, в геометрической ·q. Если видите степень, это геометрическая.
Почему: Не знают про убывающие прогрессии
Как проверить: q может быть меньше 1. Например, 8, 4, 2, 1... Здесь q = 0.5 (деление пополам).
Почему: Возводят в степень n
Как проверить: Для первого члена: b_1 = b_1 · q^0 = b_1. Значит, степень должна быть нулевой, поэтому (n-1).
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Продолжить ряд (найти следующие числа).
- Найти n-й член по формуле.
- Найти знаменатель по двум членам.
- Задачи на сложные проценты (вклады).
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 9 классе. В ОГЭ по математике это задание № 14, в ЕГЭ — базовый уровень.
Родителям: объясните на примере слухов. Один человек рассказал новость троим (3). Те рассказали еще троим (9). Потом еще (27). Это геометрическая прогрессия с q = 3. Через 10 шагов новость узнают почти 60 000 человек. Вот почему слухи распространяются так быстро.
Частые вопросы
Почему геометрическая прогрессия растет быстрее арифметической?
Потому что при умножении мы каждый раз увеличиваем число пропорционально. А при сложении — прибавляем фиксированное число. Сначала разница незаметна, но потом геометрическая вырывается вперед.
Что такое бесконечно убывающая прогрессия?
Это когда q меньше 1 (например, 0.5). Тогда каждое следующее число меньше предыдущего, и сумма всех членов стремится к конечному числу.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам