Первообразная — тренажёр для 11 класса
Первообразная — это обратное действие к производной. Если производная ищет скорость изменения функции, то первообразная восстанавливает саму функцию. В тренажёре задания построены от простых к сложным, чтобы ребёнок сам научился применять формулу.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что такое первообразная.
- Применять правило степени при интегрировании.
- Использовать таблицу интегралов.
- Не забывать про +C (постоянную интегрирования).
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Правило степени | $∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C$ | Степень увеличиваем на 1, делим на новый показатель. |
| Константа | $∫ a dx = ax + C$ | Интеграл константы — это константа, умноженная на x. |
| Сумма | $∫ (f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx$ | Интеграл суммы — сумма интегралов. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Найдите первообразную функции f(x) = 3x².
Шаг 1. Вспоминаем правило степени. ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C. Почему: Интегрирование — это обратное действие к производной.
Шаг 2. Применяем к нашей функции. 3 выносим как множитель. ∫ 3x² dx = 3 · ∫ x² dx.
Шаг 3. Интегрируем x². n = 2. Значит, степень станет 3, а делим на 3: x³/3.
Шаг 4. Умножаем на 3 и добавляем C. F(x) = 3 · x³/3 + C = x³ + C.
Ещё один разбор
Задача. Найди первообразную: $f(x) = 10x^{1}$
Ответ: 5x^{2} + C
Типичные ошибки
Почему: Кажется, что это неважно
Как проверить: Без +C ответ неполный. Любая константа при дифференцировании дает 0, поэтому первообразных бесконечно много.
Почему: Делят на старую степень вместо новой
Как проверить: Степень увеличивается на 1, и делим на ЭТО НОВОЕ число (n+1), а не на старое.
Почему: Обе связаны со степенью
Как проверить: Производная УМЕНЬШАЕТ степень (n → n-1). Первообразная УВЕЛИЧИВАЕТ (n → n+1).
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Простые степени (x², x³).
- С коэффициентом (3x²).
- Сумма функций.
- Табличные интегралы (sin, cos, 1/x).
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 11 классе. В ЕГЭ по математике (профиль) это задание № 6 и № 11.
Родителям: объясните через спидометр. Если вы знаете скорость машины в каждый момент времени, первообразная поможет найти пройденный путь. Это обратное действие к производной.
Частые вопросы
Почему нужна буква C?
Потому что производная константы равна 0. Значит, первообразных бесконечно много, они отличаются только на эту константу.
Как проверить первообразную?
Возьмите производную от вашего ответа. Если получилась исходная функция — вы всё сделали правильно.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам