Математика
31 тем в справочнике.
Сравнение чисел
1, 2, 3, 4 класс| Знаки сравнения | $5 > 3, 3 < 5, 5 = 5$ |
| Сравнение по разрядам | 452 > 398, потому что 4 сотни > 3 сотни |
| Многозначные числа | 1000 > 999 |
- Ставить знаки >, <, = между числами.
- Сравнивать однозначные числа без счёта.
- Сравнивать двузначные и трёхзначные числа по разрядам.
- Сравнивать многозначные числа — от старшего разряда к младшему.
Задачи на доли
3, 4 класс| Доля от числа | 1/n от числа X = X ÷ n |
| Несколько долей | 3/4 от X = (X ÷ 4) × 3 |
- Понимать, что доля — это равная часть целого.
- Находить долю числа через деление.
- Различать числитель и знаменатель.
- Решать задачи на нахождение доли от количества.
Многозначные числа
4 класс| Классы чисел | единицы → тысячи → миллионы → миллиарды |
| Разрядные слагаемые | $3 405 = 3000 + 400 + 5$ |
| Чтение числа | 304 507 — «триста четыре тысячи пятьсот семь» |
- Называть классы и разряды многозначного числа.
- Читать и записывать многозначные числа.
- Раскладывать число на разрядные слагаемые.
- Сравнивать многозначные числа по классам и разрядам.
Порядок действий
3, 4, 5, 6 класс| Приоритет операций | Скобки → × и ÷ → + и − |
| Равный приоритет | $10 − 3 + 2 = (10 − 3) + 2 = 9$ |
| Скобки | $(2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ |
- Определять порядок действий по скобкам и операциям.
- Сначала выполнять действия в скобках.
- Умножение и деление — раньше сложения и вычитания.
- При равном приоритете считать слева направо.
Модуль числа
6, 7 класс| Определение | |a| = a, если a ≥ 0; |a| = -a, если a < 0 |
| Свойства | $|-5| = |5| = 5$ |
| Уравнение с модулем | |x| = 3 → x = 3 или x = -3 |
- Понимать геометрический смысл модуля.
- Вычислять модуль любого числа.
- Сравнивать числа с модулями.
- Решать простейшие уравнения с модулем.
Сложение и вычитание до 20
1, 2 класс| Переход через десяток | $8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13$ |
| Разрядный состав | $14 = 10 + 4$ |
| Вычитание с переходом | $15 − 7 = 15 − 5 − 2 = 10 − 2 = 8$ |
- Знать состав чисел от 11 до 20: 14 — это 10 и 4.
- Складывать однозначные числа с переходом через десяток.
- Вычитать из двузначного числа с переходом через десяток.
- Решать простые задачи на «сколько всего» и «сколько осталось».
Сложение и вычитание до 1000
3, 4 класс| Разрядные слагаемые | $347 = 300 + 40 + 7$ |
| Сложение в столбик | $345 + 278 = 623$ |
| Проверка вычитания | 623 − 278 = 345, проверка: 345 + 278 = 623 |
- Раскладывать трёхзначное число на сотни, десятки, единицы.
- Складывать и вычитать без перехода через разряд.
- Складывать и вычитать в столбик с переходом через разряд.
- Проверять результат обратным действием.
Округление чисел
2, 3, 4, 5, 6 класс| Правило округления | 0, 1, 2, 3, 4 → вниз; 5, 6, 7, 8, 9 → вверх |
| До десятков | 47 ≈ 50, 43 ≈ 40 |
| До сотен | 349 ≈ 300, 351 ≈ 400 |
- Находить разряд, до которого округляют.
- Смотреть на цифру справа от этого разряда.
- Применять правило «0–4 вниз, 5–9 вверх».
- Округлять до десятков, сотен, тысяч.
Неизвестный компонент
2, 3, 4 класс| Неизвестное слагаемое | $x + 5 = 12 \to x = 12 − 5$ |
| Неизвестное уменьшаемое | $x − 5 = 7 \to x = 7 + 5$ |
| Неизвестный множитель | $3 \cdot x = 12 \to x = 12 ÷ 3$ |
- Находить неизвестное слагаемое.
- Находить неизвестное уменьшаемое и вычитаемое.
- Находить неизвестный множитель, делимое и делитель.
- Проверять ответ обратным действием.
Периметр
2, 3, 4 класс| Периметр прямоугольника | $P = 2 \cdot (a + b)$ |
| Периметр квадрата | $P = 4 \cdot a$ |
| Периметр многоугольника | $P = a + b + c + …$ |
- Измерять стороны фигуры и складывать их.
- Применять формулу P = 2 · (a + b) для прямоугольника.
- Применять формулу P = 4 · a для квадрата.
- Работать с периметром в разных единицах — см, м, км.
Площадь прямоугольника
3, 4 класс| Площадь прямоугольника | $S = a \cdot b$ |
| Площадь квадрата | $S = a \cdot a = a²$ |
| Нахождение стороны | $a = S ÷ b$ |
- Понимать, что площадь — количество «клеточек» внутри фигуры.
- Применять формулу S = a · b для прямоугольника.
- Применять формулу S = a · a = a² для квадрата.
- Писать единицы измерения с индексом ² (см², м²).
Табличное деление
2, 3 класс| Связь деления и умножения | $3 \times 5 = 15 \to 15 ÷ 3 = 5$ |
| Деление на равные части | 12 яблок ÷ 3 тарелки = 4 яблока на тарелке |
| Деление круглых чисел | 80 ÷ 2 = 40 (8 ÷ 2 = 4, и добавляем ноль) |
- Понимать, что деление — это действие, обратное умножению.
- Находить результат деления по таблице умножения.
- Делить круглые числа (60 ÷ 3, 100 ÷ 10).
- Решать простые задачи на деление «поровну».
Деление уголком
3, 4 класс| Порядок действий | 1) Делим → 2) Умножаем → 3) Вычитаем → 4) Сносим |
| Первое неполное делимое | В 84 ÷ 2 первое неполное делимое — 8 |
- Находить первое неполное делимое.
- Определять количество цифр в ответе (частном).
- Выполнять пошаговое деление с остатком на каждом шаге.
- Сносить следующую цифру и продолжать деление.
Простые задачи
1, 2, 3, 4 класс| Сложение (всего, прибавили) | Было 5, стало 3. Сколько всего? → 5 + 3 |
| Вычитание (осталось, забрали) | Было 8, съели 2. Сколько осталось? → 8 − 2 |
| Умножение (по несколько раз) | 3 коробки по 4 штуки. Сколько всего? → 3 × 4 |
| Деление (разложить поровну) | 12 конфет на 4 тарелки. По сколько? → 12 ÷ 4 |
- Находить в задаче условие и вопрос.
- Определять ключевые слова, указывающие на действие.
- Выбирать правильное действие (сложение, вычитание, умножение, деление).
- Записывать решение и ответ.
Единицы длины
1, 2, 3, 4 класс| Мелкие единицы | 1 см = 10 мм; 1 дм = 10 см |
| Крупные единицы | 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м |
| Перевод | 3 м = 3 × 100 = 300 см; 500 см = 500 ÷ 100 = 5 м |
- Называть единицы длины от миллиметра до километра.
- Переводить крупные единицы в мелкие (м → см).
- Переводить мелкие единицы в крупные (см → м).
- Сравнивать длины, выраженные в разных единицах.
Единицы массы
2, 3, 4 класс| Базовые соотношения | 1 кг = 1000 г; 1 ц = 100 кг; 1 т = 1000 кг |
| Перевод в граммы | 2 кг 300 г = 2 × 1000 + 300 = 2300 г |
| Перевод в тонны | 5000 кг = 5 т |
- Называть единицы массы от грамма до тонны.
- Переводить крупные единицы в мелкие (кг → г).
- Переводить мелкие единицы в крупные (г → кг).
- Выполнять сложение и вычитание масс.
Единицы времени
2, 3, 4 класс| Базовые соотношения | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сут = 24 ч |
| Крупные единицы | 1 год = 12 месяцев; 1 век = 100 лет |
| Перевод | 2 ч = 2 × 60 = 120 мин |
- Называть единицы времени от секунды до года.
- Переводить часы в минуты и минуты в секунды.
- Переводить сутки в часы.
- Сравнивать и складывать промежутки времени.
Объём куба
4, 5 класс| Объём куба | $V = a \cdot a \cdot a = a³$ |
| Кубические единицы | см³, м³, дм³ |
| Отличие от площади | $S = a², V = a³$ |
- Понимать разницу между площадью и объёмом.
- Применять формулу объёма куба V = a³.
- Правильно записывать единицы измерения (см³, м³).
- Решать задачи на нахождение объёма.
Признаки делимости
5, 6 класс| На 2, 5 и 10 | На 2: чётная (0, 2, 4, 6, 8); На 5: 0 или 5; На 10: 0 |
| На 3 и 9 | 123 → 1+2+3 = 6 (делится на 3) |
| На 4 | 1348 → 48 делится на 4, значит и 1348 тоже |
- Определять чётные числа (делимость на 2).
- Проверять делимость на 5 и 10 по последней цифре.
- Складывать цифры для проверки делимости на 3 и 9.
- Применять признаки для упрощения дробей.
НОД и НОК
5, 6 класс| Разложение на множители | $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ |
| НОД (Наибольший делитель) | НОД(12, 18) = 2 · 3 = 6 |
| НОК (Наименьшее кратное) | НОК(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 |
- Раскладывать число на простые множители.
- Находить НОД через пересечение множителей.
- Находить НОК через объединение множителей.
- Применять НОД для сокращения дробей, а НОК — для поиска общего знаменателя.
Пропорции
6, 7 класс| Основное свойство | $a/b = c/d \to a \cdot d = b \cdot c$ |
| Правило креста | $x / 10 = 3 / 5 \to 5 \cdot x = 10 \cdot 3$ |
| Масштаб | 1 : 1000 (в 1 см 10 метров) |
- Записывать пропорцию из условия задачи.
- Применять основное свойство пропорции (крест-накрест).
- Находить неизвестный член пропорции.
- Решать текстовые задачи на масштаб и скорость.
Объём параллелепипеда
4, 5 класс| Объём параллелепипеда | $V = a \cdot b \cdot c$ |
| Площадь основания | V = S(основания) · c |
| Единицы измерения | см³, дм³, м³ |
- Находить длину, ширину и высоту фигуры.
- Применять формулу объёма V = a · b · c.
- Правильно записывать единицы измерения (см³, м³).
- Отличать объём от площади поверхности.
Десятичные дроби
5, 6 класс| Сложение и вычитание | $2,50 + 1,35 = 3,85$ |
| Умножение | $1,5 \cdot 0,2 = 0,30 (0,3)$ |
| Деление на 10, 100... | $45,2 ÷ 10 = 4,52$ |
- Читать и записывать десятичные дроби.
- Складывать и вычитать (запятая под запятой).
- Умножать десятичные дроби (без выравнивания).
- Делить на 10, 100, 1000 (сдвиг запятой).
Обыкновенные дроби
5, 6 класс| Приведение | $1/2 = 3/6$ |
| Сложение | $a/b + c/b = (a+c)/b$ |
| Умножение | $(a/b) \times (c/d) = (a\cdot c)/(b\cdot d)$ |
| Деление | $(a/b) ÷ (c/d) = (a\cdot d)/(b\cdot c)$ |
- Приводить дроби к общему знаменателю.
- Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.
- Умножать и делить дроби.
- Сокращать и выделять целую часть.
Сложение и вычитание до 100
2, 3 класс| Разрядные слагаемые | $47 = 40 + 7$ |
| Сложение по разрядам | $34 + 25 = (30 + 20) + (4 + 5) = 50 + 9 = 59$ |
| Переход через десяток | $47 + 8 = 47 + 3 + 5 = 50 + 5 = 55$ |
- Раскладывать двузначное число на десятки и единицы.
- Складывать и вычитать круглые числа: 40 + 20, 80 − 30.
- Складывать двузначное и однозначное с переходом через десяток.
- Складывать и вычитать двузначные числа — устно и в столбик.
Умножение в столбик
3, 4 класс| Порядок умножения | $34 \times 12 = (34 \times 2) + (34 \times 10)$ |
| Правило сдвига | 34 × 10 = 340 (ноль сдвигает цифры влево) |
| Сложение результатов | $68 + 340 = 408$ |
- Записывать числа в столбик разряд под разрядом.
- Умножать многозначное число на однозначное.
- Правильно сдвигать результат при умножении на десятки.
- Складывать полученные результаты.
Деление с остатком
3, 4 класс| Формула деления с остатком | $a = b \times c + r$ |
| Главное правило | r < b |
| Проверка | $c \times b + r = a$ |
- Понимать смысл остатка при делении.
- Находить наибольшее число, которое делится нацело.
- Записывать ответ в виде «частное (остаток)».
- Проверять результат по формуле a = b × c + r.
Действия с отрицательными числами
6, 7 класс| Сложение | $-5 + 3 = -2; 5 + (-3) = 2$ |
| Вычитание | $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ |
| Умножение и деление | $(-2) \cdot (-3) = 6; (-2) \cdot 3 = -6$ |
- Понимать смысл отрицательных чисел (на числовой прямой).
- Складывать числа с разными знаками.
- Вычитать отрицательные числа (минус на минус).
- Умножать и делить числа с разными знаками.
Сложение и вычитание до 10
1 класс| Состав числа | $7 = 5 + 2 = 4 + 3 = 6 + 1$ |
| Сложение до 10 | $6 + 3 = 6 + 2 + 1 = 9$ |
| Вычитание до 10 | $9 − 4 = 9 − 1 − 3 = 5$ |
- Знать состав числа в пределах 10 (7 = 5 + 2, 8 = 4 + 4).
- Складывать однозначные числа с переходом через десяток (в пределах 10).
- Вычитать из чисел до 10.
- Решать простые задачи «сколько всего» и «сколько осталось».
Таблица умножения
2, 3 класс| Перестановочный закон | $7 \times 8 = 8 \times 7$ |
| Умножение на 10 | $7 \times 10 = 70$ |
| Умножение на 9 | $7 \times 9 = 7 \times 10 − 7 = 70 − 7 = 63$ |
- Знать таблицу умножения на 2, 5, 10 без запинки.
- Понимать, что a × b = b × a (перестановочный закон).
- Умножать на 9 через приём «10 минус один».
- Запоминать трудные примеры (6×6, 7×7, 6×7, 6×8, 7×8) через рифмы.
Проценты
6, 7, 8, 9 класс| Процент от числа | p% от N = N · p / 100 |
| Число по проценту | N = (часть · 100) / p |
| Процентное изменение | ((новое − старое) / старое) · 100% |
- Находить процент от числа.
- Находить число по его проценту.
- Считать изменение в процентах (скидки, повышения).
- Решать задачи на растворы и вклады.