Объём пирамиды — тренажёр для 10 класса
Пирамида — это фигура с многоугольным основанием и гранями-треугольниками, сходящимися в вершине. Объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы с таким же основанием и высотой. В тренажёре задания построены на формуле V = 1/3 S_осн · h.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что такое пирамида.
- Применять формулу V = 1/3 S_осн · h.
- Находить площадь основания (треугольник, квадрат).
- Правильно писать кубические единицы.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Объём пирамиды | V = (1/3) · S_осн · h | V — объём, S_осн — площадь основания, h — высота. |
| Четырехугольная пирамида | $V = (1/3) \cdot a \cdot b \cdot h$ | Основание — квадрат или прямоугольник. |
| Треугольная пирамида | V = (1/3) · (1/2 · a · h_треуг) · h | Основание — треугольник. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Найдите объём пирамиды с квадратным основанием 6×6 и высотой 10.
Шаг 1. Записываем формулу. V = (1/3) · S_осн · h. Почему: Пирамида занимает ровно треть объёма призмы с таким же основанием.
Шаг 2. Находим площадь основания. S_осн = 6 · 6 = 36.
Шаг 3. Подставляем. V = (1/3) · 36 · 10 = 12 · 10 = 120.
Шаг 4. Записываем ответ. V = 120 см³ (или м³).
Ещё один разбор
Задача. Пирамида: основание $10 \times 1$, $h=30$. Объём?
Ответ: 100
Типичные ошибки
Почему: Считают как призму
Как проверить: В пирамиде всегда 1/3. Если забыть — ответ будет в 3 раза больше.
Почему: Оба термина связаны с высотой
Как проверить: Высота — это перпендикуляр к плоскости основания. Апофема — высота боковой грани.
Почему: Считают 6 вместо 36
Как проверить: Площадь квадрата — это a². 6² = 36, а не 6.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Прямоугольная пирамида.
- Треугольная пирамида.
- Задачи с правильной пирамидой.
- Нахождение высоты по объёму.
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 10–11 классах. В ЕГЭ по математике это задание № 13.
Родителям: объясните на примере пирамиды Хеопса. Если вы знаете площадь её основания и высоту, можно вычислить, сколько камня ушло на строительство. Именно так археологи проверяют свои расчеты.
Частые вопросы
Почему пирамида в 3 раза меньше призмы?
Это доказал ещё Архимед. Если поставить пирамиду в призму с тем же основанием, пирамида заполнит ровно 1/3 её объёма.
Чем пирамида отличается от конуса?
У пирамиды в основании многоугольник, у конуса — круг. Но формула объёма одинаковая (1/3 от площади основания на высоту).
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам