Объём шара — тренажёр для 11 класса
Объём шара — это сколько места занимает мяч внутри. Формула V = 4/3πR³ кажется сложной, но в ней есть простая логика: объём растет как куб радиуса. Если увеличить радиус в 2 раза, объём вырастет в 8 раз. В тренажёре задания построены от простых к сложным.
Что проверяет эта тема
- Знать формулу объёма шара V = 4/3πR³.
- Находить радиус по диаметру.
- Использовать π ≈ 3,14.
- Правильно писать кубические единицы (см³, м³).
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Объём шара | $V = (4/3) \cdot π \cdot R³$ | V — объём, π ≈ 3,14, R — радиус. |
| Через диаметр | $V = (1/6) \cdot π \cdot d³$ | R = d/2. |
| Площадь поверхности | $S = 4 \cdot π \cdot R²$ | Площадь шара. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Найдите объём шара с радиусом 3 см (π ≈ 3,14).
Шаг 1. Записываем формулу. V = (4/3) · π · R³. Почему: Объём шара — это 4/3 от объёма цилиндра, в который он вписан.
Шаг 2. Возводим радиус в куб. R³ = 3³ = 27.
Шаг 3. Подставляем и умножаем. V = (4/3) · 3,14 · 27. Сокращаем 27 и 3: получаем 9. V = 4 · 3,14 · 9 = 113,04.
Шаг 4. Записываем ответ с единицами. V = 113,04 см³.
Ещё один разбор
Задача. Объём шара радиуса $10$ ($\pi \approx 3.14$)?
Ответ: 4186.67
Типичные ошибки
Почему: Пишут V = πR³
Как проверить: В формуле шара всегда 4/3. Не путайте с цилиндром (V = πR²h).
Почему: Путают с площадью
Как проверить: Объём — трехмерная величина. Радиус всегда в кубе (R³).
Почему: По привычке пишут квадрат
Как проверить: Объём всегда в кубических единицах (см³, м³).
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Прямой расчет (V по R).
- Через диаметр.
- Сравнение объёмов (у какого шара больше).
- Задачи на изменение радиуса.
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 11 классе. В ЕГЭ по математике (профиль) это задание № 13.
Родителям: объясните на примере мяча. Если вы надуваете мяч и радиус увеличивается в 2 раза, то воздуха внутри станет в 8 раз больше (2³ = 8). Вот почему большие мячи такие тяжелые, если их надуть.
Частые вопросы
Почему в формуле 4/3?
Это математический вывод из интеграла. Если упрощенно: шар занимает 4/3 объёма цилиндра, в который он вписан.
Как найти радиус, если известен объём?
Выражаем из формулы: R = ∛(3V / 4π). Это кубический корень.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам