Комбинаторика — тренажёр для 7 класса
Сколькими способами можно расставить 3 книги на полке? А сколько вариантов кода из 4 цифр? На эти вопросы отвечает комбинаторика. Это раздел математики, который учит считать количество вариантов, не перебирая их вручную. В тренажёре задания построены от простых к сложным.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что такое факториал.
- Вычислять количество перестановок.
- Вычислять количество сочетаний.
- Использовать формулы в текстовых задачах.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Факториал | $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$ | Произведение всех чисел от 1 до n. |
| Перестановки | $P_n = n!$ | Способы расставить n различных предметов. |
| Сочетания | $C(n,k) = n! / (k! \cdot (n-k)!)$ | Способы выбрать k предметов из n (порядок не важен). |
| Размещения | $A(n,k) = n! / (n-k)!$ | Способы выбрать k предметов из n (порядок важен). |
Разбор задачи по шагам
Задача: Сколькими способами можно расставить 4 разные книги на полке?
Шаг 1. Определяем тип задачи. Все 4 книги используются, порядок важен. Это перестановки.
Шаг 2. Применяем формулу. P_4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4. Почему: На первое место 4 варианта, на второе — 3, на третье — 2, на четвертое — 1. Перемножаем.
Шаг 3. Считаем. 4! = 24.
Шаг 4. Записываем ответ. 24 способа.
Ещё один разбор
Задача. Сколькими способами выбрать 4 из 6?
Ответ: 15
Типичные ошибки
Почему: Не понимают, важен ли порядок
Как проверить: Если порядок важен (пароль, места в ряду) — размещения. Если нет (выбрать начинку для пиццы) — сочетания.
Почему: Считают вручную
Как проверить: n! — это произведение. 5! = 120. Запомните базовые значения: 3!=6, 4!=24, 5!=120.
Почему: Делят не на те факториалы
Как проверить: В знаменателе всегда k! и (n-k)!. Проверяйте формулу.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Факториалы (счет).
- Перестановки (сколько способов).
- Сочетания (выбрать команду).
- Задачи с паролями (количество вариантов).
Все ответы с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 7–9 классах. В ОГЭ по математике это задание № 20, в ЕГЭ — базовый уровень.
Родителям: объясните на примере меню. Если в кафе 3 вида супа и 2 вида напитка, сколько вариантов обеда? 3·2=6. Это правило умножения — основа комбинаторики.
Частые вопросы
Чем отличается перестановка от сочетания?
В перестановке важен порядок (ABC и CBA — разные). В сочетании порядок не важен (ABC и CBA — одно и то же).
Зачем нужен факториал?
Он считает количество способов переставить предметы. 3! = 6 способов для 3 предметов.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам