Вписанные и центральные углы — тренажёр для 8 класса
В геометрии окружности есть две главные величины — центральный и вписанный угол. Центральный угол опирается на дугу и равен ей. Вписанный — в два раза меньше. Это правило экономит массу времени на ОГЭ: не нужно считать каждый раз через треугольники. В тренажёре задания построены на разных комбинациях углов.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что такое центральный и вписанный угол.
- Применять правило «вписанный = половина центрального».
- Различать углы, опирающиеся на одну дугу.
- Решать задачи с несколькими углами на одной окружности.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Центральный угол | $∠AOB = ∪AB$ | Вершина в центре, равен дуге в градусах. |
| Вписанный угол | $∠ACB = ½ ∠AOB$ | Вершина на окружности, половина центрального, опирающегося на ту же дугу. |
| Угол на диаметр | ∠ACB = 90°, если AB — диаметр | Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Центральный угол AOB = 80°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу.
Шаг 1. Вспоминаем правило. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Почему: Вписанный «касается» дуги, центральный «исходит» из центра, и вершина центрального видна под меньшим углом.
Шаг 2. Подставляем. ∠ACB = 80° / 2 = 40°.
Шаг 3. Записываем ответ. 40°.
Ещё один разбор
Задача. Центральный угол 313°. Найди вписанный, опирающийся на ту же дугу.
Ответ: 156°
Типичные ошибки
Почему: Пишут 80 · 2 = 160
Как проверить: Вписанный — МЕНЬШЕ центрального в 2 раза. Всегда делим.
Почему: Не смотрят, на какую дугу опирается угол
Как проверить: Смотрите на дугу, которую «отсекает» угол. Оба угла должны опираться на одну дугу.
Почему: Не используют лайфхак
Как проверить: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда 90°. Это часто упрощает задачи.
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- По центральному найти вписанный и наоборот.
- Угол на диаметр.
- Несколько углов на одной дуге.
- Задачи с треугольниками на окружности.
Ответ проверяется сразу.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 8 классе (начало) и 9 классе (полноценно). В ОГЭ по математике — задание № 16.
Родителям: объясните через пиццу. Центральный угол — это «кусок» в центре. Вписанный — тот же кусок, но «по краю». По краю «виден» в 2 раза меньше.
Частые вопросы
Что такое дуга?
Часть окружности между двумя точками. Измеряется в градусах. Центральный угол равен дуге.
Почему вписанный угол меньше?
Потому что вершина вписанного угла «находится» на окружности, а не в центре. Геометрически «видит» дугу под меньшим углом.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам