Биномиальное распределение — тренажёр для 10 класса
Формула Бернулли отвечает на вопрос: «Какова вероятность, что при n попытках успех случится ровно k раз?». Например, при 5 бросках монеты какова вероятность выпадения ровно 3 орлов? Каждая попытка независима и имеет одну и ту же вероятность успеха p. В тренажёре задачи построены на реальных сценариях: броски, выстрелы, лотереи.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что такое независимые испытания.
- Применять формулу Бернулли.
- Использовать биномиальные коэффициенты C(n,k).
- Считать вероятность «ровно k успехов из n».
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Формула Бернулли | $P = C(n,k) \cdot pᵏ \cdot (1−p)ⁿ⁻ᵏ$ | P — вероятность, n — число попыток, k — число успехов, p — вероятность успеха в одной попытке. |
| Биномиальный коэффициент | $C(5,3) = 10$ | C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). |
| Матожидание | $E = 5 \cdot 0,5 = 2,5$ | E = n · p. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что выпадет ровно 3 орла?
Шаг 1. Определяем параметры. n = 5, k = 3, p = 0,5 (вероятность орла).
Шаг 2. Считаем C(5,3). C(5,3) = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 · 2) = 10. Почему: Коэффициент показывает, сколькими способами можно выбрать 3 «орла» из 5 бросков.
Шаг 3. Возводим вероятности в степени. p³ = 0,5³ = 0,125. (1−p)² = 0,5² = 0,25.
Шаг 4. Перемножаем. P = 10 · 0,125 · 0,25 = 0,3125. Почему: Каждая из 10 комбинаций имеет одинаковую вероятность 0,125 · 0,25.
Шаг 5. Записываем ответ. P = 0,3125 (или 31,25%).
Ещё один разбор
Задача. Биномиальное распределение: $n=6$, $p=0.7$, $k=5$. Найди $P(X=k)$.
Ответ: 0.3025
Типичные ошибки
Почему: Считают только pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
Как проверить: Без коэффициента считается вероятность одного КОНКРЕТНОГО порядка. Нам нужны все возможные — умножаем на C(n,k).
Почему: Возводят в степень не то
Как проверить: pᵏ — вероятность k успехов. (1−p)ⁿ⁻ᵏ — вероятность n−k неудач.
Почему: Путают формулу
Как проверить: C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!). Симметричен: C(5,3) = C(5,2).
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Монета (p = 0,5).
- Кубик (p = 1/6).
- Стрельба (p = 0,8 и т.п.).
- Задачи с C(n,k).
Ответ проверяется сразу.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 10–11 классах. В ЕГЭ по математике (профиль) — задание № 4 или № 10.
Родителям: объясните через лотерею. Биномиальное распределение отвечает на вопрос «какова вероятность выиграть k раз из n попыток», если в каждой попытке вероятность выигрыша одна и та же.
Частые вопросы
Что значит «независимые испытания»?
Результат одного броска не влияет на другой. Монета не «помнит», что выпало раньше.
Почему формула такая сложная?
Она складывает вероятности всех возможных порядков. Коэффициент C(n,k) и учитывает все эти порядки.
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам