Векторы на плоскости — тренажёр для 9 класса
Вектор — это не просто отрезок, а отрезок с направлением (стрелка). В жизни мы сталкиваемся с векторами, когда говорим «иди на север 5 километров» или «машина едет со скоростью 60 км/ч на восток». В тренажёре задания построены на простых координатах, чтобы ребёнок сам научился выполнять действия с векторами.
Что проверяет эта тема
- Понимать, что вектор имеет направление и длину.
- Находить координаты вектора по двум точкам.
- Вычислять длину вектора.
- Находить сумму и разность векторов.
- Вычислять скалярное произведение.
Формулы и правила
| Что ищем | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Координаты вектора | $AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)$ | Из координат конца вычитаем координаты начала. |
| Длина вектора | $|a| = √(x² + y²)$ | По теореме Пифагора. |
| Скалярное произведение | $a \cdot b = x₁\cdot x₂ + y₁\cdot y₂$ | Сумма произведений соответствующих координат. |
Разбор задачи по шагам
Задача: Найти длину вектора a = (3; 4).
Шаг 1. Вспоминаем формулу. Длина вектора вычисляется по теореме Пифагора: |a| = √(x² + y²). Почему: Вектор на координатной плоскости — это гипотенуза прямоугольного треугольника.
Шаг 2. Подставляем значения. x = 3, y = 4.
Шаг 3. Возводим в квадрат и складываем. 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Шаг 4. Извлекаем корень. √25 = 5.
Шаг 5. Записываем ответ. |a| = 5.
Ещё один разбор
Задача. a=(8;-9), b=(7;-4). Найди a·b.
Ответ: 92
Типичные ошибки
Почему: Считают, что вектор — это просто точка
Как проверить: Вектор задается двумя числами (x; y), которые показывают смещение по осям, а не положение на плоскости.
Почему: Оставляют длину в виде x² + y²
Как проверить: Длина — это расстояние. Она всегда без квадрата.
Почему: Складывают координаты вместо произведений
Как проверить: Скалярное произведение — это сумма (x₁·x₂) + (y₁·y₂), а не (x₁+x₂) + (y₁+y₂).
Типы задач в тренажёре
В тренажёре:
- Найти координаты вектора по двум точкам.
- Вычислить длину вектора.
- Найти сумму/разность векторов.
- Скалярное произведение.
Все задания с проверкой.
Кому и когда это нужно
Тема изучается в 9 классе. В ОГЭ по математике это задание № 19.
Родителям: объясните через шахматы. Вектор — это как ход коня (две клетки вперед, одна вбок). Он показывает не где стоит фигура, а куда и насколько она сместится.
Частые вопросы
Что такое скалярное произведение?
Это число, которое показывает, насколько векторы направлены в одну сторону. Если оно равно 0, векторы перпендикулярны.
Как найти координаты вектора по точкам?
Из координат конца (куда стрелка) вычесть координаты начала (откуда стрелка).
Примеры задач
Готовы попробовать свои силы?
В тренажёре задачи проверяются автоматически, а после ошибки показывается пошаговое решение.
Перейти к задачам